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数学小品：二进制（我拟高考自主招生数学试题之一）

2009-02-02 22:30阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1252620073


有趣的二进制数
在我这个高考外行眼里，觉得这是一个很适宜自招考试的话题
声明：
　　本人对考研数学的辅导有较深入的研究，说我是“应试教育专家”、“辅导专家”我也就不过分谦虚了。
　　但是对于高考数学，“答疑工作”也许还能勉强而为之，要说到“辅导工作”那确实是绝对不行的。对高考数学试题的“评价”也是心血来潮的乱弹，请专业人士不要对我所讲的太认真。

数学小品：二进制（我拟高考自主招生数学试题之一）

　　最近接连在网上回答了两个关于二进制数的问题，觉得很有趣的，如果把这种问题作为自招考题，我觉得倒是挺合适。
　　这样的问题难度不高，但是你没有一点二进制的知识恐怕也不是轻易能解的。
问题一
http://iask.sina.com.cn/b/14643194.html

　　把一个数的数码顺序倒过来，所得新数叫做原数的“反序数”。例如2009和9002就是互为反序数。
如果一个数等于它的反序数，则称这个数为“对称数”。例如20902就是一个对称数。
　　不超过2009的最大的二进制对称数是几？
　　解答　因为　2
009=2^10+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^3+1。
　　所以　2009(十)=11111011001(二)，
　　而这个11位的二进制数不是对称数。
　　如果取他的前六位111110（二）为基准，可构造得到的以“第六位数”为“对称中心”的对称数是11111011111(二)。但是他比11111011001(二)大，显然这是不符合要求。
　　比前六位111110(二)稍小一点的二进制数就是111101(二)了。以他为基准，可以构造出满足题意要求最大对称数是11110101111(二)。

问题二
http://iask.sina.com.cn/b/14643125.html

　　在一次游戏活动中，老师要大家把1000颗糖分成若干堆，要求堆数尽量少。但是总能够从这些堆里取出其中的几堆，使糖的总颗数刚好等于老师任意所说的不大于1000的某个正整数。试问这1000颗糖，应该如何分？
　　解答　本题要用二进制来解决，我们知道小于1000的2^n次幂有：
1，2，4，8，16，32，64，128，256，512。
　　假如我们分出9堆，各堆糖的颗数恰好分别是：1，2，4，8，16，32，64，128，256。也就是二进制的1，10，100，1000，10000，……，100000000。
　　从二进制的角度很容易说明，在这九堆糖里取出其中一堆或几堆使糖的总颗数等于1，10，11，100，101，110，111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111，……，111111111。
　　从十进制看，在这九堆糖里取出其中一堆或几堆使糖的总颗数等于1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，511。
　　但是我们这样分法还剩下489颗糖，就把他作为第十堆。当老师讲的数字超过489时，我们就先取出第十堆，不足部分已经不会超过511颗，在前九堆里就足够能取到了。

　　所以具体分堆方法是：
　　第一堆有1颗糖；
　　第二堆有2颗糖；
　　第三堆有4颗糖；
　　第四堆有8颗糖；
　　第五堆有16颗糖；
　　第六堆有32颗糖；
　　第七堆有64颗糖；
　　第八堆有128颗糖；
　　第九堆有256颗糖；
　　第十堆有489颗糖。
　　对于上面理论上证明还不清楚的话，我们再举具体例子说明，但是一定要用到二进制数的工具。
　　如果老师说的数不大于511的数，应该可以在前九堆中取若干份就能取齐。方法是将这个十进制数写成二进制表达形式：
1，10，11，100，101，110，111，……，111111111。

从末尾数起，k位是1，就取第k堆，k位是0，就不取第k堆。
　　譬如老师说405，我们就写出：405（十）=110010101（二）。
　　我们从末尾数起，只有第一、三、五、八、九位是1，所以可以取第一、三、五、八、九堆，就刚好取齐405颗糖。
　　如果老师说的数超过了511，先把第十堆489取上，剩下需要取的数都不大于511了，可以在其他九堆中取齐。
　　譬如老师说673，超过了511，我们就先把第十堆489颗取上，剩下需要取的数184。写出：184（十）=10110111（二）。
　　再要取出第一、二、三、五、六、八堆，加上已经取的第十堆就刚好取齐673颗糖。


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问题《http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_4aa977290100e14m.html?vt=4》的解答
　　为了解释这个荒谬产生的原因，让我们来看看把与这个直角三角形一样大小的两个直角三角形拼起来，
数学小品：二进制（我拟高考自主招生数学试题之一）D

能不能成为一个长方形？我们发现不行！中间出现了一个细小的缝隙，这是直观上的、感性上的认识，不能立即由此作定性结论。
　　那么我们应该怎么样作出正确的定量分析呢？就是要用严格数值计算来解析地证明这条缝隙的存在性。　　我们的道理是：由于k(AB)=3/5=0.6，k(BC)=0.625，所以A、B、C三点不共线。
　　由于AC的斜率是k(AC)=8/13=0.61538……，而k(AB)=0.6<k(AC)，说明了B点在AC的下方，也就是说ABCD不是一个真正的直角三角形，而是一个凹的四边形。
　　这个长方形的面积为13*8=104，而凹的四边形ABCD的面积为(5*3)/2+3*8+(8*5)/2=51.5。
　　104-2*51.5=1　就是这个小缝隙的面积。
　　我们经过巧妙的重新安排，把这个不容易发现的小缝隙，刚好集中成一个单元格，便成了一个令较粗心的人觉得荒谬的事实。
数学小品：二进制（我拟高考自主招生数学试题之一）

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